Computer simulaties en computer- aided modeleren


°

  FYSICA /Toegepaste wiskunde en informatica 

°

°

Overal in natuurwetenschap en techniek worden modellen gebruikt om de werkelijkheid te begrijpen en te voorspellen. Computermodellen gebruik je om berekeningen uit te voeren waar je met de hand niet uit zou komen. Het behoort ook  in toenemende mate   tot  de wetenschappelijke standaard  praktijk ( en operationeel instrumentarium )  … Moest het niet zo zijn dat er slechts een relevant gedeelte  wordt gebruikt ( of bij het modelleren alles  voor de invoer zorgt )… dat zou het modeleren  ineenzakken onder de  oneindige  toevoer  van een  massa’s  aan alle nieuwe  gegevens  (relevante en niet relevante samen )  …. M.a.w. het  modelering systeem “crasht ” 

 

°

Alle modellen zijn dus ( uit noodzaak)  altijd vereenvoudigingen  van een  uitgekozen (= de relevante ) werkelijkheid  en de daar in optredende (uitrekenbare ) fenomenen …. Uiteraard zullen  computer aided modellen  (afhankelijk van hun rekenkracht ) veel uitgebreider  complexere modellen  vlugger(kunnen )berekenen (simulaties ) dan de klassieke “handmatige ” modellen (bijvoorbeeld  ; grafische  organigrammen ) …. Maar ook deze  computermodellen  blijven allemaal  slechts  benaderingen ( misschien wel de beste die we  routinematig  en erg snel  kunnen  (laten) construeren wat  zonder die computers te traag zou verlopen ) van een gedeelte van een  (verondersteld ) grotere  “totale “werkelijkheid   …. 

°

Maar je hoeft ook niet de (echte en veronderstelde ) “totale werkelijkheid “van (bijvoorbeeld) een appel te vatten  om die appel  te herkennen , te bemachtigen en hem in zijn ” totaliteit  ” op te kunnen eten  …. Dat is een  filosofisch leithmotiv (dat   o.a.  Immanuel Kant al heeft  ontwikkeld –> in het  “Ding an Sich ” verhaal )

°

LINKS

°

http://bw.newton-online.nl/newton3/pagina.asp?pagkey=58866 http://home.kpn.nl/h.bruning/dict-enz/dict/modelleren.pdf

°

 

Labyrint: computermodellen

//

Voor de makers van animatiefilms was het lange tijd het meest frustrerende onderdeel : het animeren van haar. Hoe kan een computer deze complexe natuurkundige materie nabootsen zonder maanden van rekenen? En wat voor wiskundige modellen zijn er nog meer mogelijk dankzij computers? 

door

Labyrint: de kapper van Disney

Bekende studio’s als Pixar en Disney zoeken hulp bij wetenschapper Eitan Grinspun. Grinspun weet als een van de weinigen met welke wetten hij een bierbuik kan laten bewegen of een bos krullen kan laten dansen. Inmiddels heeft hij aan films als Avatar, Hobbit en Brave meegewerkt en leidt hij aan Columbia University op speelse wijze zijn eigen onderzoeksgroep. Labyrint, het wetenschapsprogramma van NTR en VPRO Dit dossier is gemaakt in samenwerking met partnerwebsite Wetenschap24.   °

Computer imiteert de werkelijkheid

Computers zijn tegenwoordig razendsnel – snel genoeg om de natuurkunde van dansend haar na te bootsen, maar ook om de werking van criminele netwerken te imiteren. Ze kunnen zelfs uitrekenen hoe sociale netwerken van drugsverslaafden lopen. Handig om hulpverleners bij te staan in het behandelen van verslaving. Geen systeem is gek genoeg, of het kan wel door een computer worden nagebootst, zo lijkt… Mits die computer ‘slim’ genoeg is.


2165411154_5062562365_o

Wiskunde vindt prins op witte paard

Veel datingsites maken gebruik van wiskundige modellen om mensen met elkaar te matchen. Om jouw prins op het witte paard te vinden moeten die modellen veel informatie kunnen verwerken.

Voedselpiramide

Model voorspelt stabiliteit ecosysteem

Met een nieuw wiskundig model kunnen Nederlandse biologen veranderingen in ecosystemen beter voorspellen dan voorheen werd gedacht. Dat doen ze door te berekenen hoe sterk de relaties zijn tussen roofdieren en hun prooien. Ook het bepalen van de invloed van klimaatverandering komt een stukje dichterbij. In theorie, in elk geval.

Autos-file_20178772

Eenvoudig model voor files

Cellulaire automaten klinken misschien als iets heel ingewikkelds. Maar ze geven juist een verbluffend makkelijk te begrijpen wiskundig model voor filevorming.

Dokters_mondkapje

Ziekteverspreiding voorkomen met hulp van wiskunde

Vogelgriep en de gewone griep zijn heel besmettelijke ziektes. Ze worden snel overgedragen van mens op mens. Maar ook de besmettelijke ziekenhuisbacterie MRSA kan heel gevaarlijk zijn. Hoe verspreiden zulke ziekte zich precies? Dat kun je zichtbaar maken met wiskundige modellen.

Go

Go computer!

Sinds de computer Deep Blue schaakgrootmeester Kasparov versloeg, verlegden computerprogrammeurs hun blik naar het Aziatische bordspel Go. Tot op de dag van vandaag is het nog geen computer gelukt een Go-prof te overmeesteren. Terwijl de spelregels eenvoudiger zijn dan van schaken. Ook wetenschappelijk onderzoekers doen mee aan de internationale strijd om deze uitdaging als eerste te volbrengen, waaronder Guillaume Chaslot van de Universiteit Maastricht.

De kracht van supercomputers

Wanneer is een computer ‘slim’ genoeg om een ingewikkeld model te berekenen? Veel modellen zijn nog wel met (een cluster van) desktopcomputers uit te vogelen. Maar wanneer het gaat om zwarte gaten, het meedoen aan een televisiequiz, of het voorspellen van het weer, dan moet er echt wel een tandje bijgezet worden. En dan komen de supercomputers in actie: immense rekenmachines die bijna elk probleem met brute rekenkracht te lijf gaan.


Botsende_zwarte_gaten

Supercomputer simuleert botsing van drie zwarte gaten

Onderzoekers van het Rochester Institute of Technology in de Verenigde Staten zijn erin geslaagd om de botsing en versmelting van drie zwarte gaten te simuleren met behulp van een krachtige supercomputer.

Spspimg2007

Supercomputers rekenen aan donkere materie

Voor het eerst is het wetenschappers gelukt om twee geavanceerde supercomputers samen aan hetzelfde probleem te laten rekenen – aan verschillende kanten van de wereld, wel te verstaan. De Nederlandse supercomputer Huygens simuleert samen met de Japanse Cray XT4 een deel van het heelal: op zoek naar informatie over donkere materie.

Watson

Watson weet het beter

Watson, de supercomputer van IBM, heeft het geflikt: na drie avonden in het Amerikaanse programma Jeopardy! heeft hij de twee beste menselijke spelers ooit verslagen. Een hele prestatie, want het spel draait om taal, en Watson kan eigenlijk alleen rekenen. Hoe deed hij dat? En hoe lang gaat het duren voordat iedereen een Watson in huis heeft?

Supercomputer_knmi

Supercomputer bij het KNMI

Bij het doen van een verantwoorde weersverwachting komt heel wat zware wiskunde kijken. Voor het rekenwerk dat met de voorspelling gemoeid gaat, is dan ook een zeer krachtige computer nodig, een zogenaamde supercomputer. Hoe dat alles precies in zijn werk gaat, kun je in dit artikel lezen.

Above and beyond met quantumcomputers

Maar sommige problemen zijn zelfs te moeilijk voor de allersnelste supercomputers. Wiskundigen zitten echter niet bij de pakken neer. Ze weten namelijk dat er een revolutie op komst is in computerland, in de vorm van de quantumcomputer. Deze computer rekent niet alleen met enen en nullen, maar ook met alles daar tussen in. Zo kan een piepkleine quantumcomputer meer berekeningen uitvoeren als een kelder vol gewone computers. De exotische wereld van de quantummechanica maakt dit allemaal mogelijk.


Fotonengun

Kwantumcomputers

Computers zijn tegenwoordig niet meer weg te denken. Supercomputers verwerken miljoenen zoekresultaten of berekenen wat het weer over een paar dagen zal zijn. Naast sneller zijn computers tegenwoordig ook kleiner dan ooit. Zo bestond één van de eerste computers uit ongeveer 18000 vacuümbuizen, 800 kilometer draad en woog zo’n 30 ton! Daarom verbaast het wellicht dat de computers van vandaag in principe niet wezenlijk verschillen van de allereerste modellen. Net als zijn voorouders manipuleert de pc ‘nulletjes en eentjes’ tot het gewenste resultaat. Maar daar komt misschien verandering in met de kwantumcomputer.

Afbeelding_1

Rekenen aan de gedroomde kwantumcomputer

Fundamenteel onderzoek naar de grondslagen van de kwantummechanica levert onverwacht praktisch inzicht in de bouweisen van een toekomstige kwantumcomputer.

Pw_rydbergjun

Quantumcomputer van silicium?

Een bekend theoretisch quantumtrucje is dat een deeltje zich op twee plaatsen tegelijkertijd kan bevinden. Nederlandse en Engelse wetenschappers hebben nu laten zien dat ze deze truc in de praktijk uit kunnen halen met een elektron in silicium. Een belangrijke stap naar een werkende quantumcomputer van silicium.

Majorana-graphic-2

Exotisch Majorana-deeltje duikt op in Delft

Al sinds 1937 is men er naar op zoek, maar nu denken Delftse natuurkundigen hem voor het eerst te hebben gezien: het Majorana-fermion. Als de resultaten kloppen is het een spectaculaire vondst. De mysterieuze deeltjes kunnen van groot belang zijn voor zeer krachtige quantumcomputers. Deze week publiceren de wetenschappers hun onderzoek in Science.

Beveiligen met quantumtechnologie

De komst van de quantumcomputer wordt ook gevreesd, met name door bankiers en beveiligingsexperts. Digitale beveiliging werkt nu met een vergrendeling die zó ingewikkeld is, dat zelfs de snelste supercomputer er jaren over zou doen om die te kraken. Maar voor een quantumcomputer zou dit een peulenschil zijn. Daarom moet er een nieuwe verdediging komen: quantumcryptografie.


20521666415032888949ab7

Doorbraak in quantumcryptografie

Door de komst van quantumcomputers loopt de houdbaarheid van de traditionele cryptografie af. Want het is niet ondenkbaar dat quantumcomputers binnen afzienbare tijd grote getallen kunnen ontbinden in priemfactoren. Het feit dat zoiets tot nog toe níét kan, is juist de kracht van veelgebruikte methoden die nu in de cryptografie worden gebruikt.

____________________________________________________________________

Relevante DISCUSSIES  geplukt van Scientias nl 

°  1.- Waarom zouden computer modellen niet waarheidsgetrouw kunnen zijn?

  • ”    Wat je erin stopt komt  er ook   weer  uit. “

 

  • Dus als je de wetten van de natuur ( en de parameters ) erin stopt, komt wat er gebeurd volgens die wetten (die we voor het dagelijks leven hier op aarde helemaal kennen) uit. Lijkt mij behoorlijk waarheidsgetrouw.

 

  • Wetten die we helemaal kennen, “nu ben je wel echt grappig aan het doen:

    Computer simulaties zijn geen feiten..geen discussie daarover, anders gaan we andere computer simulaties er ook eens bij gaan halen, die keer op keer de mist in gaan.

    – Als wetenschap tegenwoordig alleen maar wiskundige formules en wiskundige computer simulaties zouden  zijn, dan zou het wel heel erg gesteld  zijn met die wetenschap.

    °

(Tsjok )

oftewel =  “Wetenschap die alleen maar bestaat uit wiskundige formules is geen wetenschap  ..”… Omdat “wetenschap” zowel theoretisch als  empirisch is … het is een   en dezelfde medaille met  met twee  complementaire kanten  

Theoretische  wetenschap is trouwens niet alleen meer   de klassieke “formules ” 

Lees bijvoorbeeld eens  Stephan  wolfram  en je krijgt wel een ander  idee van wat de  nieuwe ( nieuw in 2002 )huidige wetenschappelijke  toepassingen van de wiskundige en toegepast wiskundige wetenschap   eigenlijk  (tegenwoordig ) vermag

Bovendien – NATUUR SLUIT helemaal geen   kennisvergaring  dmv  emperische  wetenschap uit  …  (dus   complementair aan theoretische wetenschap )   die is gebaseerd op een  accumulatie van  kontroleerbare provisionele , fractaire en  e  (in)directe waarnemingen     binnen het menselijke    tijdsbesef  ( waarnemingen  in “uitgesteld relais “dus ) en wat de wetenschap dus nog altijd  blijft doen  ter verdere uitbouw van haar  paraat kenniscorpus  …. ° Wetenschap ( en  wiskunde )  die alleen maar bestaan uit wiskundige formules ” is  geen  komplete wetenschap   maar  eerder  een oefening in creatief denken  en de “wiskunde” verdere  verwerking ervan  dan niet meer dan een  cirkelredenering in het groot (die weliswaar esthetisch veel voldoening kan schenken  omdat het allemaal  zo mooi “klopt” )  ….. ° Onze waarnemingen zijn nooit  waarheden … je moet ze kunnen inpassen in modellen die steunen op  ( de momenteel )bereikte  modellen die onderling consistent moeten zijn … en daar speelt wiskunde en toegepaste wiskunde (waaronder “computer  aided modelering “de volgende stap is  geworden bij het ontwerpen van complexere modellen ) een hoofrol bij het voorspellen van  de uitdraaien  wanneer men die  modellen  laat draaien  ( die eveneens zullen kunnen nagechecks worden door doenbare metingen  en onder varierende parameter ….oftewel  controleerbaar falsifieerbaar  blijken   van buiten  het  gebruikte programma /systeem )  ° Zie daarover ook  Gödell en zijn stelling dat de werkelijkheid van  een  axioma ( = niet gelijk  zijn plausibiliteit ) slecht te bewijzen valt door  een  geeven uit een metasysteem ( dt ook klan zijn gebaseerd op een  metasaxioma … enzoverder”  ad infinitum ” ) Daarom is  wetenschap die alleen theorie is  , ( of alleen empirie )  een   stroman-constructie  :en dat is ook al een (ongewilde  ? ) drogredenering …..   Tenslotte is  spreken over wetenschap niet hetzelfde dan aan wetenschap doen . Over wetenschap “ is  nml   wetenschapsfilosofie   ( een onderdeel van het filosofische  hoofdvak  de epistemologie  of kennisleer )  ….     –

*

 “kwantum mechanica, is puur wiskundige en hypothetisch en geen feit.” Ruimte-tijd, is puur wiskundig en hypothetisch en geen feit. Je weet niet waaruit die ruimte bestaat en zo dus kun je ook niet weten of tijd echt wel bestaat, dat is relatief. Tijd is een meeteenheid in het leven geroepen door een mensenvolk, die op universele schaal nog rondlopen met pampers aan. ° Zwaartekracht theorieën, want men gebruikt verschillende theorieën, los en of samen met elkaar, hangt er van af hoe het de ene of de andere uitkomt, eens we buiten ons planetenstelsel komen, laten elk’s van deze theorieën het radicaal afweten. ° Materie, we kennen maar x% van alle bestaande elementen, want om de haverklap komen we nieuwe elementen tegen, waarvan we dachten (alles weten) dat deze niet konden of zouden bestaan. ° Higs, nog steeds niet overtuigd, ieder deeltje materie is niet het zelfde, dus of te wel is er geen higs of te wel is er meer dan 1 type higs. We hebben het ook niet rechtstreeks waargenomen, er is niets tastbaars. ° Andere krachten, ° we kennen maar X % van de bestaande elementen en de invloeden wat deze elementen zouden kunnen hebben. Als je zegt we weten alles, dan ben je arrogant en heb je tunnelvisie, als je zou zeggen we weten niet alles maar wel veel, dan ben je bescheiden en open minded en vooral menselijk. °

-Wiskundige formules, statistieken (gemiddelde waardes) computer simulaties (wiskundige algoritmes) zijn geen feiten, gezien men altijd zit opgescheept met het onzekerheid principe. Wiskunde formules etc.. kan ons alleen maar een beeld geven hoe het kan zijn, maar geeft ons geen beeld hoe het echt-feitelijk is.

°

–> Het standaard model beschrijft en voorspeld dingen met onvoorstelbare precisie. Het is gewoon hoe de natuur zich gedraagt. Algemene relativiteit doet dat met dezelfde onvoorstelbare precisie. Het is gewoon hoe de natuur zich gedraagt. – Beide zullen in de toekomst uitgebreid worden, maar die uitbreidingen hebben geen invloed op hoe onze dagelijkse wereld in elkaar steekt. Er zijn nu 118 elementen bekend. Er zullen nog meer elementen gemaakt worden, maar dit zal geen invloed hebben op ons dagelijks bestaan. En omdat ik denk dat je je in de terminologie vergist heb: De donkere energie en massa, waarvan we nog niet weten wat het is, hebben geen invloed op ons dagelijks bestaan. Of je het nu wilt of niet, deze wiskundige modellen beschrijven de dagelijkse natuur zeer nauwkeurig. En kunnen dus prima gebruikt worden in computer modellen om dingen te voorspellen.. Als dat niet kon, zouden we nu niet op deze manier kunnen discussiëren. Kijk maar eens goed om je heen. Vrijwel alles wat je ziet is het resultaat van computer modellen. –

 

°

—> Er wordt nooit iets direct waargenomen  … Ook niet  als je er met je neus opzit —>

 

°

Elke  “waarneming” is indirect en is slechts datgene  wat door het object is uitgezonden (uitgestraald  , gereflecteerd , als scheikundig aroma uitgescheiden , een drukgolf veroorzakend  die ons bereikt en die we  “gewaar “worden  ) en na een tijdje onze zintuigen bereikt  ….

 

°

Het zijn ons zenuwstelsel   onze hersenen  die het vervolgens in een vorm gieten (die evengoed illusoir kan zijn )en altijd partieel en provisioneel  …..

°

en dat is genoeg om een redelijke kans van overleven  in dit ondermaanse te waarborgen  (want onze hersenen zijn een navigatiesysteem en een  overlevingsinrichting )

° .

..Simpel : indien het  model van de dagdagelijkse  werkelijkheid  té illusoir is  kan het een vervroegde  dood betekenen  ..

 

°

Echter  het  is de taal van wiskunde die deze waarnemingen ordent , selekteer( m.a.w.interpreteerd en bijstuurt en filtert )  en een aanneembaar  en  vervolgens een  innerlijk  consistent  theoretisch model  van de werkelijkheid kan  construeren  …. Dat in het “geheugen”  opgeslagen “kenniscorpus ”  kan evenwel worden omvergehaald door de volgende waarnemingen en modelleringen ( bijvoorbeeld ook door de inspanningen van anderen    die aan een  groot  verzameld “wetenschappelijk kenniscorpus ” meewerken .).

°

Het zijn dus een  verzameling “denk-oefeningen  “die vooraf  aftasten welke  beelden van de werkelijheid  illusoir zijn (en de  voorstelbare vervroegde dood zouden kunnen betekenen …..)

°

Deze  gedachten-modellen en hun (bij)sturingen   anticiperen en voorspellen en kijken dan of die voorspellingen kloppen( en in samenwerking met het nog aanwezige geheugen  uiteraard /: en het eventueel aanwezige publieke geheugen )als een achteraf  en  vervolgens(idealiter )  bijgestuurd  door vele  nieuw te ontdekken  data en andere  feedback  en  inputs (idealiter ) toe te passen  , zodat het corpus aan parate kennis kan groeien en/of gecorrigeerd of  “aangepast  ”  ….. 

°

Wiskunde is de taal  (en  toepasbaar operationeel instrument ) van de wetenschap en wordt  als een belangrijk onderdeel van de wetenschappelijke methode  gebruikt om de werkelijkheid (steeds  verfijnder en preciezer  )te beschrijven ( en te ontrafelen ) en om bovenbeschreven methode beter toepasbaar  te maken    .

 

°

Voorspellingen zijn geen feiten, voorspellingen doen kan iedereen en is geen exacte wetenschap, het is berekend gokken. Daarom, vind je zelden tot nooit twee exacte computer modellen van het ene of het andere, wat je er in stopt komt ook weer der uit, willen of niet. Wiskundige mensen zien overal wiskunde om zich heen, mensen met een rijke fantasie zien overal gezichten (zie artikel gezicht op komeet) De natuur doet wat het doet, met of zonder daar wiskunde op los te laten, de natuur gebruikt geen wiskunde, het zijn de mensen die wiskunde gebruiken op die natuur. En begrijp me niet verkeerd, wiskunde is zeker nuttig, ik ben niet naïef, maar er zijn wel grenzen…..Het leven is veel meer dan nullen en enen (0-1 computer taal)

°

 

  • Een van de belangrijkste taken van de wetenschap is het doen van gedetailleerde voorspellingen. Ik denk hierbij aan de voorspelling van Pauli over het neutrino, of het Higgs boson, of het weer. Komt de voorspelling uit, dan komt de wiskunde overeen met de natuur.Het verschil tussen een wetenschapper en een “Nostradamus” is de gedetailleerdheid van de voorspelling. Iedereen kan “voorspellen” dat het gaat regenen. Het word natuurlijk pas interessant als je kan voorspellen hoeveel regen er gaat vallen en exact waar. En alweer ; wetenschappers kunnen dat behoorlijk nauwkeurig.
  • Zelfs mieren gebruiken wiskunde om hun eten te vinden en om weer terug te komen. Het pedometer effect: http://www.npr.org/blogs/krulw…

 

  • Ik kan me voorstellen dat het frustrerend is voor mensen die zelfs geen beetje wiskunde vaardig zijn en dat ze zouden willen dat het anders was.

Dat is jammer voor die mensen en voor sommigen die om de een of andere reden niet in staat zijn wiskundige vaardigheden te ontwikkelen misschien ook een groot probleem, maar niets aan te doen. Wiskunde is de taal van de wetenschap  en als je het niet spreekt dan kennelijk ga je vanzelf wartaal uitslaan.

  • En we  weten exact wat de natuur  van  onze wiskundige  beschrijvingen van de werkelijkheid vind.

We kunnen namelijk de wiskundige modellen vergelijken met de realiteit. 

  • Het feit dat je huis overeind blijft staan en je gps goed werkt en dat we een machine in omloop van een komeet kunnen plaatsen enzovoort, bewijzen dat de wiskundige modellen de natuur erg goed beschrijven.

°

Huizen vallen in elkaar, gps stuurt je de verkeerde kant uit, een machine rond een komeet plaatsen, daar zijn we meermaals in geslaagd, eens te meer hebben we daar in gefaald:P Ondertussen zitten we opgescheept met atoombommen, kerncentrales, kijk maar naar chernobyl, of Japan, zitten we opgescheept met die ruimtevervuiling, waar als het zo doorgaat geen gaatje meer is om iets anders te lanceren…..jaja, de mens is echt goed bezig, ze kennen alles, van arrogantie gesproken.

(Gailgrathor )

“Huizen vallen in elkaar, gps stuurt je de verkeerde kant uit, een machine rond een komeet plaatsen”

  • Dat is allemaal werktuigbouwkunde, engineering.
  • Weten hoe de natuur zich gedraagt en apparatuur volgens exacte specificaties bouwen en bedienen zijn twee verschillende dingen

.

wiskundige vormen in de natuur 

Wiskunde in de natuur: http://4.bp.blogspot.com/-6Ur5… http://www.onlineinvestingai.c… http://84d1f3.medialib.glogste… Zonnebloemmotief (zie reacties onderaan  ) 

http://4.bp.blogspot.com/-6Ur5… http://www.onlineinvestingai.c… http://84d1f3.medialib.glogste…     http://thereisnocavalry.files…. http://thereisnocavalry.files…. http://2.bp.blogspot.com/-BtRb… http://4.bp.blogspot.com/-QCdm… http://1.bp.blogspot.com/–h0T… http://1.bp.blogspot.com/-4vgm…

En dan hebben we nog de banen van de planeten die zich perfect gedragen volgens eenvoudige wiskundige modellen.
°
Hoe elektriciteit zich gedraagt in mijn luidsprekers om Dave Brubeck te laten klinken. Ik kan mijn hele leven wel doorgaan……
°
LINKS 
(zie ook reacties onderaan )

Cellulaire automaat  <—Wikipedia 

Cell Morphs      Natural shells (top) and  simulated ones (bottom ) . Meinhardt, H. (1995). The Algorithmic Beauty of Sea Shells. Springer Verlag. (p. 179, 180)

Over tsjok45
Gepensioneerd . Improviserend jazzmuzikant . Instant composer. Jamsession fanaat Gentenaar in hart en nieren

3 Responses to Computer simulaties en computer- aided modeleren

  1. Pingback: evodisku inhoud GLOS F | Tsjok's blog

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s

%d bloggers op de volgende wijze: